수와 문자

[1]

 

2를 여러 번 곱할 때 $2^2$을 2의 제곱, $2^3$을 2의 세제곱, …이라고 읽는다.
       이때, $2^2$, $2^2$, …을 통틀어 2의 거듭제곱이라 하고, 거듭하여 곱하는 수 2를 밑, 곱한 개수를 나타낸 2, 3, …을 지수라고 한다.

중학교 1학년 수학의 도입부.

       처음 다루는 주제가 소인수분해다 보니, 일단 거듭제곱을 허겁지겁 가르친다. 그러나 중학교 수학의 거듭제곱 문제를 해결하려면 거듭제곱의 밑이 정수, 분수, 문자식일 때, 밑과 지수를 정확히 말할 수 있어야 한다.

 

 

[2]

 

중학교 수학의 자연수의 성질 단원에서는 1보다 큰 자연수를 곱셈의 꼴로 나타냈을 때 무슨 일이 생기는지 관찰한다.

       예를 들어, 자연수 $a$를 $a=b \times c$라 나타낼 수 있는데, 이때 우변에 a가 필수적으로 등장하는지가 최대의 관심사. 우변을 a를 쓰지 않고 나타낼 수 있는 수는 합성수, 그렇지 않은 수는 소수다.

       a, b, c가 정수일 때, 등식 $a=b \times c$는 세 수 사이의 약수와 배수 관계를 드러낸다. 우변에 b가 있으면, 좌변의 수는 무조건 b의 배수이고, 반대로 우변에 b가 등장할 방법이 전혀 없으면 좌변은 절대로 b의 배수가 아니다. 해서, 0은 모든 정수의 배수이고, 1과 자기자신은 모든 수의 약수.

 

 

[3]

 

자연수를 소인수분해할 때, 소인수들의 순서를 생각하지 않으면 결과는 오직 한 가지이다.

그 이름도 유명한 산술의 기본 정리fundamental theorem of arithematic. 1을 소수라 인정하면 성립하지 않는다. 해서, 1은 소수에서 제외.

 

 

[4]

 

소인수분해를 이용해 약수를 구하는 방법을 설명할 때, 대부분 소인수가 2개인 수를 예로 들어, 각 소인수의 거듭제곱을 가로와 세로에 채워넣은 표를 보여주는데, 소인수가 3개 이상인 수에는 통하지 않는 표현 방법이다. 해서, 소인수분해를 이용해 약수를 구할 때는, 표보다 덜 이쁘기는 해도, 수형도를 이용해야 마땅히 옳다.

       수형도로 약수의 개수를 세면 $a^p \times b^q \times c^r$로 소인수분해되는 수는 약수가 $(p+1) \times (q+1) \times (r+1)$개라는 사실이 자연스레 드러난다.

       약수의 개수를 식으로 나타내 보면, 소수의 제곱수는 약수가 3개, 모든 제곱수는 약수가 홀수 개라는 것을 알 수 있는데, 학교 시험에서 은근히 자주 등장하는 주제.

 

 

[5]

 

서로 반대의 성질을 가지는 수량을 부호 $+$나 $-$를 사용하여 나타낼 수 있다.

정수의 도입부.

       자연수가 양을 나타낸다면, 정수는 거기에 방향을 덧댄 것이다.

       정수는 어떤 방향과 그 반대 방향이라는, 두 가지 방향을 나타낸다.

       양수와 음수는 각각 방향을 뜻하는 말이어서, 방향을 특정할 수 없는 0은 양수도 음수도 아니다.

       방향을 반대로 뒤집는 연산은 ‘ $ \times (-1)$ ’. 허수단위를 나타낼 수 있는 복소평면에서 살피면, 방향을 뒤집어 나가는 과정을 좀 더 생생히 볼 수 있다.

 

 

[6]

 

(1) 양수는 0보다 크고, 음수는 0보다 작다.
(2) 양수는 음수보다 크다.
(3) 양수는 그 절댓값이 클수록 크다.
(4) 음수는 그 절댓값이 클수록 작다.

실수의 대소 관계.

       수학의 엄밀함이랄지 결벽이랄지.

       한마디로 수직선에서 오른쪽이 왼쪽보다 크다는 소리.

 

$a=b$이면
(1) 등식의 양변에 같은 수를 더하여도 등식은 성립한다.
(2) 등식의 양변에서 같은 수를 빼어도 등식은 성립한다.
(3) 등식의 양변에 같은 수를 곱하여도 등식은 성립한다.
(4) 등식의 양변을 0이 아닌 같은 수로 나누어도 등식은 성립한다.

등식의 성질에 대한 서술. 실수의 대소 관계만큼이나 장황한데, 등호 양변에 같은 계산을 하라는 소리.

 

 

[7]

 

가로의 길이가 20이고, 세로의 길이가 a인 직사각형의 넓이는 20a이다.

산술과 대수의 분기점.

       어쨌거나 세로의 길이를 모르는 상황. 세로의 길이를 모르면 직사각형의 넓이도 몰라야 정상이건만, 세로의 길이를 모르는 직사각형의 넓이를 운운하는 중.

       문자의 바탕에 놓인 생각은 ‘사실은 모르지만 안다고 치면’. 이제까지는 문제 해결에 필요한 모든 정보를 알려줬다면 이제부터는 모르는 게 있는 상태에서 문제를 풀어야 한다는 의미. 그러니 문제 해결에 반드시 필요한데 드러내놓고 알려주지 않은 게 뭔지부터 살피는 게 나름의 전략.

 

 

[8]

 

문자를 포함한 식에서 문자 대신에 수를 넣는 것을 대입한다고 한다.

대입을 할 때는 괄호를 절대로, 절대로, 아껴서는 안 된다. 1초 편하려다 남의 다리를 긁게 되는 지름길.