교과서 수학/중2 (8) 썸네일형 리스트형 중2 - 순환소수 [1] 순환소수 $\frac {3}{7}$을 소수로 나타내기 위하여 계속 나누면 $0$을 제외한 $6$개의 자연수만 나머지가 될 수 있다. 따라서 적어도 $7$번째 안에는 같은 수가 다시 나타나게 되며, 그때부터 같은 몫이 되풀이된다. 정수가 아닌 유리수를 기약분수로 나타낼 때, 분모가 $2$ 또는 $5$ 이외의 소인수를 가지는 유리수는 순환소수로 나타낼 수 있다. $\frac {3}{7}$을 소수로 나타내기 위해 계속 나눌 때, 어째서 $0$은 나머지가 될 수 없을까? $3$을 $7$로 한참 나누다 보면, 마침내 $0$이 나머지로 등장하지는 않을까? 나머지에 $0$이 나타난다는 것은 언젠가는 나누어떨어진다는 뜻인데, 이런 일은 정말 불가능할까? $\frac {3}{7} =a$라고 하면, 등식의 성질에 .. 중2 - 기울기 [1] 기울기 일차함수 $y=ax+b$에서 $x$의 값의 증가량에 대한 $y$의 값의 증가량의 비율은 항상 일정하며, 그 비율은 $x$의 계수 $a$와 같다. 이 증가량의 비율 $a$를 일차함수 $y=ax+b$의 그래프의 기울기라고 한다. 19세기 무렵 수학자들은 그들이 다루는 대상이 진리라기보다는 약속에 가깝다는 점을 깨달았다고 한다. 그런 점에서 직선의 기울어진 정도를 두 수의 비로 나타내기로 한 수학자들의 약속을 별다른 의문 없이 받아들이는 것은 그리 바람직한 자세는 아닐 듯싶다. 기울기를 하나의 수로 나타내자는 생각에는 달리 이견이 없겠으나, 그 수를 어떻게 정할지는 의견이 다양할 수 있다. 기울기를 하나의 수로 나타내는 방법이야 충분히 많으니. 수평을 $0$, 수직을 $1$이라 한 후 그 사이의.. 중2 - 일차식과 직선 [1] 일차식과 직선 일차함수의 그래프는 직선이고, 한 평면 위에서 서로 다른 두 점을 지나는 직선은 오직 하나뿐이다. 따라서 일차함수의 그래프는 이 그래프 위의 서로 다른 두 점을 알면 그릴 수 있다. 일차식의 모양은 직선. 허공을 날아다니는 직선을 벽에 고정하기 위해 필요한 못은 오직 두 개. 두 점은 곧 직선 그 자체. 문제에 일차식이 등장하면 직선을 준 것이다. 직선을 고정시키는 데 필요한 못은 두 개. 그러니 출제자는 못 두 개를 분명 문제 어딘가에 감추었을 것이고, 그 두 점을 찾는 것이 일차적인 목표다. 2021년 3월 고3 학력평가 미적분 29번 문제. 자연수 $n$에 대하여 곡선 $y=x^2$ 위의 점 ${\mathrm P}_n (2n, 4n^2)$에서의 접선과 수직이고 점 ${\math.. 중2 - 평행이동 [1] 평행이동 한 도형을 일정한 방향으로 일정한 거리만큼 평행하게 이동하는 것을 평행이동이라고 한다. 평행이동을 달리 밀기라고 한다. 도형을 미는 행위는 도형의 모양에 아무런 영향을 주지 않는다. 밀기 전이든 민 후든, 모양은 그대로다. 밀기를 관찰할 때는 도형 전체를 살피는 대신 도형의 특정한 부분 - 예를 들면, 꼭짓점 - 에 초점을 맞춰야 한다. 도형의 모양이 변함이 없으니, 도형의 특정한 부분의 위치 변화가 결정되면, 도형의 나머지 부분들은 알아서 각자 자리를 잡는다. 중2 - 함수 [1] 함수 두 변수 $x$, $y$에 대하여 $x$의 값이 변함에 따라 $y$의 값이 하나씩 정해지는 대응 관계가 성립할 때, $y$를 $x$의 함수라고 한다. 키워드는 하나씩. $x$ 하나에 $y$가 여럿이어도 안 되고, 없어서도 안 된다. 길동이에게 나이를 묻는다. “길동아, 몇 살이니?” 길동이가 똑부러지게 대답한다. “열 다섯살.” 이런 것이 정상적인 대화다. “길동아, 몇 살이니?” 도술을 부리는 길동이가 대답한다. “나는 열 살도 되고, 백 살도 되오.” 흥미롭기는 하나, 현실은 아니다. “길동아, 몇 살이니?” “나는 나이 같은 건 없소.” “얘 지금 뭐래니?” 왜 $y$가 여럿이거나 없으면 안 될까. 쓸모가 떨어지기 때문이다. 태평양에 태풍의 씨앗이 발생했단다. 대통령인 당신은 기상청장에.. 중2 - 부등식의 성질 [1] 부등식의 성질 부등식의 양변에 같은 수를 더하거나 양변에서 같은 수를 빼어도 부등호의 방향은 바뀌지 않는다. 부등식의 양변에 같은 양수를 곱하거나 양변을 같은 양수로 나누어도 부등호의 방향은 바뀌지 않는다. 부등식의 양변에 같은 음수를 곱하거나 양변을 같은 음수로 나누면 부등호의 방향은 바뀐다. 등식의 성질에 기대면, 그리고 곱셈과 나눗셈이 서로 결이 같은 셈이라는 것을 안다면, 부등식의 성질은 좀더 간결해진다. 등식의 성질 ① 등식의 양변에 같은 수를 더하여도 등식은 성립한다. ② 등식의 양변에 같은 수를 빼어도 등식은 성립한다. ③ 등식의 양변에 같은 수를 곱하여도 등식은 성립한다. ④ 등식의 양변을 $0$이 아닌 같은 수로 나누어도 등식은 성립한다. 나눌 때는 역수를 이용하여 나눗셈을 곱셈으.. 중2 - 외심 [1] 삼각형의 외심 삼각형 $ABC$의 세 꼭짓점이 원 $O$ 위에 있을 때, 이 원 $O$는 삼각형 $ABC$에 외접한다고 하며 이 원을 삼각형 $ABC$의 외접원이라고 한다. 외접원의 중심 $O$를 삼각형 $ABC$의 외심이라고 한다. 삼각형과 외심이 그려져 있을 때, 외접원과 관련된 점은 네 개다. 외심과 삼각형의 세 꼭짓점. 이때 외심은 외접원의 중심이고, 세 꼭짓점은 외접원 위의 점이다. 외심과 삼각형의 세 꼭짓점을 이으면, 삼각형 세 개가 만들어진다. 이때 그은 세 선분은 원의 중심과 원둘레 위의 점을 이은 것이니, 그 정체는 반지름이다. 반지름은 길이가 일정해서 새로 생긴 삼각형들은 모두 이등변삼각형이고, 이때 처음에 주어졌던 삼각형의 세 변은 각각 세 이등변삼각형의 밑변이 된다. [2] .. 중2 - 피타고라스 정리 [1] 피타고라스 정리 직각삼각형에서 직각을 낀 두 변의 길이의 제곱의 합은 빗변의 길이의 제곱과 같다. 이와 같은 성질을 피타고라스 정리라고 한다. 피타고라스 정리와 무리수는 거울의 양면이다. 직각이등변삼각형에서 직각을 낀 두 변의 길이를 $1$이라 하면, 빗변의 길이가 무리수인 $\sqrt {2}$가 된다. 빗변의 길이를 $1$이라 해도, 상황은 마찬가지. 이번에는 직각을 낀 두 변의 길이가 무리수다. 자연수를 만물의 근원이라 찬미하던 피타고라스 학파는 이런 수의 존재를 감내하기 어려웠다던가. 그런 까닭에 무리수의 존재를 드러낸 히파수스를 이단이라 하여 그들의 학파에서 추방하고, 일설에 따르면 물에 빠뜨려 제거했다고도 한다. [2] 피타고라스 정리와 무리수 학교수학에서 피타고라스 정리와 무리수라는 두.. 이전 1 다음
