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교과서 수학

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교과서 수학 - 고1 [1] 다항식 연산 - 나머지정리 다항식 $P(x)$를 일차식 $x-a$로 나누었을 때의 나머지를 $R$라고 하면 $R=P(a)$이다. 다항식을 일차식으로 나눈 나머지는 곧바로 알 수 있다는 정리. 해서, ‘다항식 $P(x)$는 $x-1$로 나누어떨어지고…”라는 서술이 등장하는 문제는 $P(1)=0$이라는 함숫값 하나를 숨긴 것이다. 다항식을 나누는 문제에서 나누는 식이 일차식이고 나머지에만 관심이 있다면, 그 문제는 나머지정리를 아는지 묻고 있는 중. 그렇지 않은 모든 상황 즉, 나누는 식이 일차식이 아니거나 몫을 함께 다루어야 한다면, 검산식이 항등식이라는 점을 아는지 묻는 것이다.
수학(하) - 충분조건, 필요조건 [1] 충분조건, 필요조건 명제 $p \to q$가 참일 때, 이것을 기호로 $p \implies q$와 같이 나타낸다. 이때 $p$는 $q$이기 위한 충분조건, $q$는 $p$이기 위한 필요조건이라고 한다. 최승필은 에서, 언어능력이란 이치에 맞게 꼼꼼하게 따져 생각할 수 있는 능력이기도 해서 질 높은 사춘기를 보내는 데 도움이 된다고 주장하면서, 이렇게 썼다. (p.218) 언어능력이 멘탈의 필수조건은 아닐지 몰라도 멘탈의 충분조건인 것은 틀림없는 사실입니다. 앨런 소칼이 에서 거듭 지적하듯이, 문예창작학과 출신인 저자는 수학용어를 애매하게 가져다 썼다. 저자는 일상어인 ‘필수 조건’을 수학용어인 충분조건과 대비시키고 있는데, 정작 수학에서 충분조건과 짝을 이루는 낱말은 필수조건이 아니라 필요조건이다..
중3 - 삼각비 [1] 삼각비 직각삼각형에서 한 예각의 크기와 한 변의 길이를 알면 삼각비를 이용하여 나머지 두 변의 길이를 구할 수 있다. 삼각함수 극한 문제 해결을 위한 필수지식. 사인법칙이 교과과정에 포함되면서 예외들이 조금씩 등장하는 중이기는 하나.
중3 - 제곱근 [1] 제곱근의 곱셈 $a >0$, $b >0$일 때, $ \sqrt {a} \sqrt {b} = \sqrt {ab}$ $a$와 $b$가 양수일 때, 제곱근은 자유롭게 뭉치거나 쪼갤 수 있다. 그러니 $ \sqrt 2 \sqrt 3 = \sqrt 6$이고, $\sqrt 6 = \sqrt 2 \sqrt 3$이다. 학생들이 문제를 푸는 모습을 보면, 이 등식을 마치 ‘$\sqrt a \sqrt b \to \sqrt {ab}$’인 듯이 다룬다. 그러나 양변을 잇는 기호는 ‘$\to$’가 아니라 ‘$=$’이다. 그러니 좌변을 우변으로, 혹은 우변을 좌변으로 편히 고쳐써도 괜찮다. $ \frac {2} { \sqrt 2}$가 주어지면, 거의 예외없이 분모를 유리화하려 든다. $\frac {2} {\sqrt 2 }..
중2 - 순환소수 [1] 순환소수 $\frac {3}{7}$을 소수로 나타내기 위하여 계속 나누면 $0$을 제외한 $6$개의 자연수만 나머지가 될 수 있다. 따라서 적어도 $7$번째 안에는 같은 수가 다시 나타나게 되며, 그때부터 같은 몫이 되풀이된다. 정수가 아닌 유리수를 기약분수로 나타낼 때, 분모가 $2$ 또는 $5$ 이외의 소인수를 가지는 유리수는 순환소수로 나타낼 수 있다. $\frac {3}{7}$을 소수로 나타내기 위해 계속 나눌 때, 어째서 $0$은 나머지가 될 수 없을까? $3$을 $7$로 한참 나누다 보면, 마침내 $0$이 나머지로 등장하지는 않을까? 나머지에 $0$이 나타난다는 것은 언젠가는 나누어떨어진다는 뜻인데, 이런 일은 정말 불가능할까? $\frac {3}{7} =a$라고 하면, 등식의 성질에 ..
중1 - 근 [1] 근 등호를 사용하여 수나 식이 서로 같음을 나타낸 식을 등식이라고 한다. 미지수의 값에 따라 참이 되기도 하고 거짓이 되기도 하는 등식을 그 미지수에 대한 방정식이라고 한다. 이때 방정식을 참이 되게 하는 미지수의 값을 그 방정식의 해 또는 근이라고 한다. 미지수에 어떤 수를 대입하여도 항상 참이 되는 등식을 그 미지수에 대한 항등식이라고 한다. 식에 등호가 있으면 등식이다. 등식에는 항등식과 방정식이 있다. 항등식은 양변의 값이 늘 같다. 반면, 방정식은 특수한 경우에만 양변의 값이 같다. 대개 차이가 눈길을 끄는 법. 항등식은 양변의 값이 늘 같다는 점, 그 자체가 관심사다. 항등식의 양변의 값이 늘 같은 것은, 양변의 식이, 겉보기와는 무관하게, 본질적으로 서로 같은 식이기 때문이다. 반면 ..
중1 - 구 [1] 구의 겉넓이와 부피 구 모양의 오렌지 한 개의 껍질로 네 개의 원을 채울 수 있다. 따라서 구의 겉넓이는 구의 중심을 지나는 평면으로 자른 단면의 모양의 원의 넓이의 4배임을 추측할 수 있다. 통 속의 물은 공의 부피만큼 넘치므로 공의 부피는 원기둥 모양의 통의 부피의 $ \frac {2}{3}$임을 추측할 수 있다. 실제로 반지름의 길이가 $r$인 구의 부피는 밑면의 반지름의 길이가 $r$이고, 높이가 $2r$인 원기둥의 부피의 $\frac {2}{3}$임이 알려졌다. 구의 겉넓이와 부피 공식을 주입하기 위한 눈물겨운 노력. 그러나 이게 다 무슨 소란인가. 이러니 거스름돈만 제대로 주고받으면 그만인데 수학을 왜 배우는가 하는 불만이 튀어나올 수밖에. 중학교 3학년 학생이 이차방정식의 문제를 풀 ..
중1 - 외각 [1] 삼각형의 외각 다각형의 한 꼭짓점에 이웃하는 두 변 중에서 한 변과 다른 한 변의 연장선이 이루는 각을 그 내각에 대한 외각이라고 한다. 삼각형의 한 외각의 크기는 그와 이웃하지 않는 두 내각의 크기의 합과 같다. 삼각형의 세 내각의 크기를 더하면 $180 ^\circ$가 된다는 걸 모르는 학생은 단 한 명도 보지 못했다. 반면, 삼각형의 외각의 성질을 아는 학생도 만난 기억이 없다. 두 가지 내용이 서로 거울상이라는 점에서, 이러기도 쉽잖다. 도형 문제를 풀면서 삼각형의 세 내각을 모두 더한 것이 $180 ^\circ$인 줄을 몰라서 틀릴 일은 거의 없다. 대부분 그 거울상인 삼각형의 외각의 성질을 몰라서 틀린다. 그러니 삼각형의 외각의 성질에 그저 눈길 한번 더 주는 것만으로도, 훨씬 많은 문..

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