수학(하) - 절대부등식

[1] 절대부등식

 

부등식의 문자에 그 문자가 가질 수 있는 어떤 실숫값을 대입해도 항상 성립하는 부등식을 절대부등식이라고 한다.

 

       절대부등식을 설명하는 교과서 본문의 서술은 이게 전부다.

       교과서 본문에는 산술기하평균부등식이라는 용어, 또는 코시나 슈바르츠 같은 이름은 전혀 등장하지 않는다. 그러나 교사가 이 문장을 일단 수업에서 다루고 나면, 학생들은 산술기하평균부등식 - 학교에 따라서는 산술기하조화평균부등식 - 과 코시-슈바르츠 부등식을 다룰 수 있어야 한다는 요구를 받는다.

 

       대학 입시에서 전국 수석을 차지하거나 서울대학교를 졸업한 이들 중에는 교과서 구석구석을 샅샅이 익혔던 - 주로, 암기했던 - 것을 입시 성공의 비결로 꼽는 이들이 있다. 그러니 교과서 한쪽 귀퉁이에 깨알 같이 적혀 있는 “$(a+b)/2$와 $\sqrt{ab}$를 각각 $a$, $b$의 산술평균, 기하평균이라고 한다”라는 문장은 어쩌면 교과서의 본문 내용보다, 변별에서 살아남는 것이 절대목표인 수험생에게는, 훨씬 더 중요한지도 모르겠다.

       그럼에도 불구하고, 출제 가능성 100%인 두 절대부등식을 교과서의 본문에서 충실히 서술하는 대신, 예제나 연습문제로 적당히 다루는 수학교육계의 심보는 아무래도 괘씸하다. 어느 학교에서 출제한 절대부등식 문제를 보고 있노라면, 더욱 그렇다.

 

$x$, $y$, $z$가 실수이고, $x+y+z=4$, $x^2 - 2y^2 - 2z^2 = 8$일 때, $x$의 최솟값과 이때의 $y$, $z$의 값을 각각 구하면?