수학(상) - 다항식 연산: 덧셈, 뺄셈, 곱셈

[1] 다항식의 덧셈과 뺄셈

 

다항식의 덧셈과 뺄셈은 동류항끼리 모아서 계산한다.
이때 뺄셈은 빼는 식의 각 항의 부호를 바꾸어 더한다.

 

       동류항을 모아서 계산하기 위해 필요한 선수지식은 ‘분배법칙’뿐.

 

 

 

[2] 다항식의 곱셈

 

이상을 정리하면 다음과 같은 곱셈 공식을 얻는다.

 

       공식은 대개 암기의 대상. 수학자나 수학교육자들도 이 점만큼은 애써 부인하지 않는다. 오히려 수학은 암기과목이라 목소리를 높이는 이들도 있다.

       여하튼 다항식의 곱셈에 대해서는 어찌저찌 이러저러한 공식을 얻었다 하니, 이제 다항식의 곱셈에 대해서는 ‘공식’을 암기하라는 소리. 어릴 적 구구단도 그렇고, 곱셈은 대개 암기를 수반한다.

       다만 초등학교의 곱셈이 두 수를 곱할 수 있는지 직접 묻는 반면, 고등학교에서는 두 문자식을 곱할 수 있는지보다는 곱셈 공식을 유연하게 활용할 수 있는지에 좀더 관심이 있다. 이름하여, 곱셈 공식 활용 문제.

       두 문자의 합, 곱, 제곱합, 제곱차, 차의 다섯 중에서 둘을 알면 어떻든 나머지를 구할 수 있는데, 고등학교 수학에서는 여기에 세제곱합과 세제곱차가 추가된다. 세 문자가 등장하는 곱셈 공식의 활용은 덤.

 

       합의 거듭제곱꼴 - $ (a+b)^n $ - 의 전개식에 대해서는 [확률과 통계]에서 이항정리로 그 원리가 소개되는데, 굳이 일반화를 하지 않아도, 제곱과 세제곱의 전개식은 간단한 비유로 식의 구조를 설명할 수 있다.

어느 학교에서 두 학급이 체험학습을 갔어.
숙소에 큰 방 두 개를 잡고, 각 반이 방 하나씩을 쓰기로 했어.

학생들이 짐을 풀고 쉬고 있는데, 학생 하나가 밖에서 외쳐.
“얘들아, 선생님이 한 반에 한 명씩 와서 간식 받아 가래셔~”

여기저기 널부러져 쉬고 있던 애들의 시선은 자연스레 반장이랑 부반장 쪽을 향했어.
“야, 인간적으로 반장이 좀 받아 오자.”
“어우야~, 오늘은 부반장이 갔다 오면 안 되겠냐?”

어떻든 간식을 받아 올 마음 착한, 혹은 책임감 강한 애들이 숙소 밖으로 나섰겠지?
이때 숙소 밖에서 선생님 말씀을 전달했던 학생은 어떤 상황을 보게될까?

누군가 두 명이 간식을 받으러 숙소를 나서는 걸 보게 될거야.
학급이 둘이고, 학급당 한 명이 간식을 받으러 나섰으니, 당연히 두 사람이 가고 있겠지?
한 명일 리 없고, 세 명일 수도 없어.
학급이 둘. 학급당 한 명. 그러니 두 명. 단 두 명.

각 학급의 반장을 $a$, 부반장을 $b$라고 하자고.
두 학급 모두 반장이 나섰으면, $aa$가 간식을 받으러 가고 있을 거야.
두 학급 모두 부반장이 나섰으면, $bb$가 갈 테고.
만약 한 쪽 학급에서는 반장이, 다른 쪽 학급에서는 부반장이 간식을 받아오기로 했으면, $ab$가 갈 거야.
다시 말하지만, $aaa$나 $b$ 같은 상황은 없어.
이때 우리는 궁금한 거야. 반장과 부반장이 한 명씩, 그러니까 $ab$인 상황일 때, 저 $a$는 어느 학급의 반장인지가.
그리고 그 가능성은 두 가지겠지? 그래서 $2ab$가 되는거야.
이게 끝이야.

정리하면, 이렇게 돼.

처음에 숙소는 이런 상황이었던 거야: $(a+b)(a+b)$.
거기서 간식을 받으러 각 방에서 한 명씩 나서는 거지.
방 밖에 있던 학생은 $aa$, $2ab$, $bb$인 상황을 관찰하게 되고.
이를 묶으면, $a^2 + 2ab + b^2$인 거야.
그래서 $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2 $인 거지.

마찬가지로 $(a+b)^3$를 전개하면 어떻게 되는지도 예상할 수 있겠지?

이번에는 체험학습을 세 학급이 간 거야.
숙소의 방도 셋.
선생님은 간식을 준비하셨고, 간식을 받으러 한 명씩 가야 해.
숙소 밖에 있던 우리는 $aaa$, $aab$, $abb$, $bbb$의 형상을 한 간식원정대를 보게 되겠지.
이때도 $aab$에 대해서는 $b$가 어느 학급의 부반장인지, $abb$에 대해서는 $a$가 어느 학급의 반장인지 궁금해. 둘 다 가능성은 세 가지이고. 그래서 $3aab$와 $3abb$가 되는 거지.
묶으면 $aaa + 3aab + 3abb + bbb$.
그래서 $(a+b)^3 = a^3 + 3a^2 b + 3 ab^2 + b^3$인 거야.