수학(상) - 다항식 연산: 항등식

[1] 항등식

 

항등식의 뜻과 성질을 이용하여 등식에서 미지의 계수를 정하는 방법을 미정계수법이라고 한다.
미정계수법에는 양변의 동류항의 계수를 비교하는 방법과 양변의 문자에 적당한 수를 대입하는 방법이 있다.

 

       항등식을 소개하는 역할은 중학교 1학년 과정이 담당한다. 그래서인지 고등학교 1학년 교과서는 ‘항등식은 알지?’ 하는 분위기를 물씬 풍긴다.

 

       중학교 1학년 교과서의 항등식 관련 대목:

등호를 사용하여 수나 식이 서로 같음을 나타낸 식을 등식이라고 한다.

미지수의 값에 따라 참이 되기도 하고 거짓이 되기도 하는 등식을 그 미지수에 대한 방정식이라고 한다. 이때 방정식을 참이 되게 하는 미지수의 값을 그 방정식의 해 또는 근이라고 한다.

미지수에 어떤 수를 대입하여도 항상 참이 되는 등식을 그 미지수에 대한 항등식이라고 한다.

 

       식에 등호가 있으면 등식이다.

       등식에는 항등식과 방정식이 있다.

 

       항등식은 (1) 양변의 생김새가 같고, (2) 문자에 어떤 값을 대입하든 양변의 값이 같다. 이때 (1)의 내용이 항등식의 성질이고, (2)의 내용이 항등식의 정의다.

 

       항등식에 대해 묻는 문제를 풀 때는 애써 정의나 성질을 구별하느라 애쓸 필요는 없다. 그저 편한 쪽을 골라 쓰면 그만이다. 말인즉, 항등식에 대한 문제는 항등식의 정의가 뭔지, 혹은 성질이 무엇인지는 묻지 않는다. 그저 양변의 생김새가 같다거나, 문자에 어떤 값을 대입해도 등식이 성립한다는 성질로, 문제를 해결하는 것으로 족하다.

 

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       안 든 것이 아니라 꺼내지 못한 것이다.

       뻔히 들어 있었는데, 못 꺼낸 것이다.

       들어 있는 것을 못 꺼냈는데, 대개 더 집어넣는 것으로 문제를 해결하려 든다. 그런 해결책이 잘 작동할 리 없다.

       어떻게 하면 꺼낼 수 있었을지 고민해야 한다.

 

       가진 재주라고는 나무에 오르는 것 하나뿐이던 고양이는 사냥개를 피해 나무 위로 몸을 숨겼지만, 꾀 많던 여우는 어떤 꾀를 쓸까 망설이다 화를 입었단다.

       항등식이 주어지면 쓸 수 있는 도구가 둘 있다.

       (1) 양변의 생김새가 같다, (2) 미지수에 어떤 값을 대입해도 등식이 성립한다.

       그러니 여우처럼 낭패를 보지 않으려면 순발력있게 대책을 고를 수 있어야 한다.