수학(상) - 다항식 연산: 나눗셈

[1] 다항식의 나눗셈

 

다항식 $A$를 다항식 $B$ ($ B \ne 0$)로 나누었을 때의 몫을 $Q$, 나머지를 $R$라 하면 $A= BQ+R$와 같이 나타낼 수 있다. 이때 $R$의 차수는 $B$의 차수보다 낮다.
특히 $R=0$, 즉 $A=BQ$일 때, ‘$A$는 $B$로 나누어떨어진다’고 한다.

 

       등식 $A=BQ+R$의 이름은 검산식. 나눗셈이 제대로 되었는지 확인하는 식이라는 뜻인데, 다항식의 맥락에서는 나눗셈의 검산보다는 ‘검산식은 항등식’이라는 점이 백배 천배 중요하다.

       요컨대, 다항식의 연산에 대해, 덧셈과 뺄셈은 주어진 두 다항식을 셈할 수 있는지 묻고, 곱셈은 공식의 암기를 묻고, 나눗셈은 검산식이 항등식임을 아는지 묻는다.

 

       검산식 뒤에 슬쩍 덧붙인 두 문장 - “$R$의 차수는 $B$의 차수보다 낮다”와 “$R=0$일 때, $A$는 $B$로 나누어떨어진다”고 한다 - 은 각기 나름의 의미가 깊어, 충분히 곱씹어야 한다.

       $R$의 차수는 $B$의 차수보다 낮다는 성질은 수많은 다항식 나눗셈 변별 문항의 소재로 쓰인다.

       검산식에서 $R=0$이면, 좌변의 다항식 $A$를 인수분해한 - 혹은, 인수분해 중인 - 결과가 우변이라는 뜻으로, 다항식의 인수분해는 대수학의 한 축인 방정식의 근을 드러낸다는 점에서, 그 의미가 어마어마한데, 이 주제는 인수정리라는 이름으로 다시 한 번 등장한다.

 

 

 

       학교 시험에서는 다항식의 나눗셈에 대해서 세 가지 대표적인 문제가 거듭 출제된다.

 

       첫째, 다항식 $P(x)$를 일차식 $f(x)$와 일차식 $g(x)$로 나눈 나머지를 각각 알려준 후, 두 일차식의 곱 $f(x)g(x)$로 $P(x)$를 나눈 나머지를 묻는다.

       둘째, 다항식 $P(x)$를 이차식 $f(x)$와 일차식 $g(x)$로 나눈 나머지를 각각 알려준 후, 이 둘을 곱한 삼차식 $f(x)g(x)$로 다항식 $P(x)$를 나눈 나머지를 묻는다.

       셋째, 다항식 $P(x)$를 일차식의 완전제곱식으로 나눈 나머지를 묻는다.

 

       학교 시험이 대개 지적 성장보다는 변별에 방점을 둔다는 점에서, 널리 알려진 문제가 거듭 등장한다는 것은 시험의 본질인 변별 기능의 훼손을 감수하더라도 어떤 발상만큼은 부디 익히기를 바라는 마음이라고나 할까, 라기에는 그리 대수롭지 않은 듯.