원의 중심에서 현에 내린 수선은 그 현을 이등분한다. 현의 수직이등분선은 그 원의 중심을 지난다.
중학교 2학년 과정인 외심의 거울상.
바탕에 깔린 이등변삼각형이 모든 현상의 원인. 한마디로, 현이란 이등변삼각형의 밑변이고, 원의 중심이 이등변삼각형의 꼭짓점이다.
이등변삼각형의 밑변의 수직이등분선은 이등변삼각형의 꼭짓점을 지난다. 그러니 현의 수직이등분선은 원의 중심을 지난다. 이 성질을 이용하면 현으로 원의 중심의 위치를 찾을 수 있다는 뜻이다.
마침 접선의 법선도 원의 중심을 지난다.
현이든 접선이든 두 개를 안다면, 수직이등분선과 법선의 교점을 찾는다. 바로 그 점이 원의 중심이다.
2021년 3월 고3 학력평가 미적분 29번 문제.
자연수 $n$에 대하여 곡선 $y=x^2$ 위의 점 ${\mathrm P}_n (2n, 4n^2)$에서의 접선과 수직이고 점 ${\mathrm Q}_n (0, 2n^2 )$을 지나는 직선을 $l_n$이라 하자. 점 ${\mathrm P}_n$을 지나고 점 ${\mathrm Q}_n$에서 직선 $l_n$과 접하는 원을 $C_n$이라 할 때, 원점을 지나고 원 $C_n$의 넓이를 이등분하는 직선의 기울기를 $a_n$이라 하자. $\lim_{n \to \infty} \frac {a_n} {n}$의 값을 구하시오.
물어보는 것은 ‘원점을 지나고 원의 넓이를 이등분하는 직선의 기울기’.
직선을 특정하려면 점이 두 개 필요한데, 하나는 ‘원점을 지나고’라는 대목에서 이미 알려줬다.
원점이 아닌 점에 대한 정보는 ‘원의 넓이를 이등분’. 즉, 목표는 원의 중심의 좌표다.
원의 중심을 찾기 위해 필요한 것은 현이나 접선 두 개.
접선 하나는 그림에 그려져 있는 $l_n$.
다른 하나는?
두 점 ${\mathrm P}_n$과 ${\mathrm Q}_n$을 이은 선분이, 현. 마침 두 점의 좌표를 확실히 아는 상태.
