중1 - 구

[1] 구의 겉넓이와 부피

 

구 모양의 오렌지 한 개의 껍질로 네 개의 원을 채울 수 있다.
따라서 구의 겉넓이는 구의 중심을 지나는 평면으로 자른 단면의 모양의 원의 넓이의 4배임을 추측할 수 있다.

통 속의 물은 공의 부피만큼 넘치므로 공의 부피는 원기둥 모양의 통의 부피의 $ \frac {2}{3}$임을 추측할 수 있다.
실제로 반지름의 길이가 $r$인 구의 부피는 밑면의 반지름의 길이가 $r$이고, 높이가 $2r$인 원기둥의 부피의 $\frac {2}{3}$임이 알려졌다.

 

       구의 겉넓이와 부피 공식을 주입하기 위한 눈물겨운 노력.

       그러나 이게 다 무슨 소란인가. 이러니 거스름돈만 제대로 주고받으면 그만인데 수학을 왜 배우는가 하는 불만이 튀어나올 수밖에.

 

       중학교 3학년 학생이 이차방정식의 문제를 풀 때 근과 계수의 관계를 적용하면 감점을 받는다. 고등학교 문제를 풀 때 로피탈의 정리를 쓰는 것은 엄연히 불법이다. 증명하지 않은 내용, 증명할 수 없는 내용은 쓸 수 없기 때문이다.

 

       그러니 그들의 말마따나 증명하지 않은 것, 증명할 수 없는 것은 취급하지 않아야 한다면, 이따위 너저분한 비유 따위는 걷어치우고 구의 겉넓이와 부피 공식은 학생들이 적분을 익힐 때까지 기다렸다가, 제대로 설명하는 것이 마땅히 옳다.