단상 240805

판별식의 부호를 틀리는 아이들이 있다.

 

문제에서 근의 종류나 교점의 개수가 등장하면 판별식을 묻는 것이다.

어찌어찌 판별식을 써야겠다는 마음은 먹는다.

 

그런데 결국 부호를 틀린다.

중근인 경우를 틀리는 경우는 드물고, 대개 실근과 허근을 헷갈려한다.

 

문제 푸는 것을 보면, 판별식의 부호를 거의 절반의 확률로 찍는 것에 가깝다.

 

이렇듯 판별식의 부호가 뒤뚱대는 것은 판별식이 이차방정식의 근의 공식 중 일부분이라는 걸 모르기 때문이다.

판별식은 이차방정식의 근의 공식 중 제곱근 속에 든 식이다.

고1 과정인 판별식이 잘 안되는 것은 중3 과정인 근의 공식을 소화 못한 탓이다.

 

근의 공식에서 제곱근 속에 든 식의 부호가 어쨌다고.

 

제곱근 속에 든 식의 부호가 근의 성격을 쥐고 흔든다는 내용은, 제곱근을 설명한 대목에서 나온다.

 

$x^2 =a$

$a$가 양수일 때가 양수의 제곱근이다.

양수의 제곱근은 양수와 음수 두 개가 있고 그 절댓값은 서로 같다. 이때 양수를 양의 제곱근이라 하고 음수를 음의 제곱근이라 한다.

$a$가 0이면 0의 제곱근이고, 0의 제곱근은 0뿐이다.

$a$가 음수이면 음수의 제곱근이고, 중3 제곱근 단원에서는 음수의 제곱근은 생각하지 않기로 하는 게 약속이다.

물론 판별식을 다룰 무렵에는 허수를 익힌 이후니까 음수의 제곱근이 허수란 걸 안다.

 

양수의 제곱근과 0의 제곱근은 실수다.

판별식이 양수이거나 0이면 근에 실수만 들었으니 실근이다.

음수의 제곱근은 허수다.

판별식이 음수이면 근에 허수가 들었으니 허근이다.

 

판별식이 0 이상이면 실근, 음수면 허근.

 

이차함수와 직선의 위치관계 단원에서는 실근과 허근이 그래프의 위치관계, 즉 교점의 개수로 치환된다.

실근이면 교점이 있고, 허근이면 교점이 없다.

 

이건 또 왜 그런가.

 

이에 대한 설명은 중3 실수 부분과 중1의 수직선, 좌표평면 부분에서 찾아야 한다.

 

두 수직선을 서로 수직으로 만나게 하여 정한 평면을 좌표평면이라고 한다.

 

수직선은 실수에 대응하는 점들로 완전히 메울 수 있다. 모든 실수에 수직선 위의 점이 하나씩 대응하고, 수직선 위의 모든 점에 실수가 하나씩 대응된다.

 

허근이 교점으로 나타나지 않는 까닭은, 좌표평면을 수직선 2개를 덧대어 만들었기 때문이고, 수직선에는 실수뿐이기 때문이다.

요컨대, 좌표평면 위에는 허수를 좌표로 가지는 점은 없고, 따라서 허근은 좌표평면 위에 점으로 나타나지 않는다.