중2 - 외심

[1] 삼각형의 외심

 

삼각형 $ABC$의 세 꼭짓점이 원 $O$ 위에 있을 때, 이 원 $O$는 삼각형 $ABC$에 외접한다고 하며 이 원을 삼각형 $ABC$의 외접원이라고 한다.
외접원의 중심 $O$를 삼각형 $ABC$의 외심이라고 한다.

 

       삼각형과 외심이 그려져 있을 때, 외접원과 관련된 점은 네 개다.

       외심과 삼각형의 세 꼭짓점.

       이때 외심은 외접원의 중심이고, 세 꼭짓점은 외접원 위의 점이다.

 

       외심과 삼각형의 세 꼭짓점을 이으면, 삼각형 세 개가 만들어진다.

       이때 그은 세 선분은 원의 중심과 원둘레 위의 점을 이은 것이니, 그 정체는 반지름이다.

       반지름은 길이가 일정해서 새로 생긴 삼각형들은 모두 이등변삼각형이고, 이때 처음에 주어졌던 삼각형의 세 변은 각각 세 이등변삼각형의 밑변이 된다.

 

 

[2] 삼각형의 변으로 외심의 위치 찾기

 

삼각형의 세 변의 수직이등분선은 외심에서 만나고, 이 점에서 삼각형의 세 꼭짓점에 이르는 거리는 모두 같다.

 

       삼각형의 변을 외접원의 시선에서 바라보면 현이 되는데, 현은 한 마디로 이등변삼각형의 밑변이다.

 

       백지에 선분 하나가 그려져 있다고 하자. 그런데 그 선분이 이등변삼각형의 밑변이란다. 이때 이등변삼각형의 꼭짓점은 어디에 있을까.

       이등변삼각형의 밑변만 주어졌을 때 이등변삼각형의 꼭짓점의 위치를 찾기 위해서는, 이등변삼각형은 반으로 접으면 정확히 포개진다는 성질을 이용한다. 이등변삼각형을 반으로 포갤 때 생기는 선을 꼭지각의 이등분선 혹은 밑변의 수직이등분선이라고 한다.

       그러니 우리가 할 일은 이등변삼각형의 밑변을 정확히 반으로 접어 수직이등분선을 만드는 일이다. 반으로 접어 만든 선은 마침 꼭지각의 이등분선이어서, 그 선 위에 반드시 이등변삼각형의 꼭짓점이 있다.

 

       평면 위에 놓인 두 직선의 위치관계는 교점의 수에 따라 셋으로 나눌 수 있다. 평행, 교차, 일치. 각각의 교점의 수는 $0$, $1$, 무한.

       요컨대 서로 교차하는 두 직선은 하나의 교점을 만든다. 그러니 이등변삼각형의 밑변으로 꼭짓점의 위치를 찾으려면, 밑변의 수직이등분선이 두 개 - 즉, 밑변이 두 개 - 필요하다.

 

 

[3] 탈레스 정리

 

예각삼각형의 외심은 삼각형의 내부에, 둔각삼각형의 외심은 삼각형의 외부에 위치한다. 또 직각삼각형의 외심은 빗변의 중점에 위치한다.

 

       기원전 600년 전후의 시기를 살았던 탈레스는 최초의 철학자, 최초의 수학자 등으로 불리는데, 그가 해낸 일 혹은 알아낸 사실을 몇몇 살펴보면 (일부는 사실이 아닐 수도 있다고 한다):

 

       ■ 일식 예측

       ■ 피라미드 높이 측정

       ■ 수요와 공급의 관계를 이용해 단기간에 부를 쌓기

       ■ 정전기 유도 현상 발견 - electricity라는 낱말이 만들어진 배경

       ■ 자석이 금속을 끌어당기는 현상 발견

       ■ 맞꼭지각은 서로 크기가 같다

       ■ 이등변삼각형의 두 밑각은 크기가 같다

       ■ ASA합동

       ■ 지름은 원의 넓이를 이등분한다

       ■ 반원에 대한 원주각의 크기는 직각이다

 

       탈레스가 발견한 여러 수학적 사실들이 모두 탈레스의 정리이기는 하나, 흔히 ‘반원에 대한 원주각은 직각’이라는 내용을 특히 탈레스 정리라 부른다.

       ‘직각삼각형의 외심은 빗변의 중점에 위치한다’는 탈레스 정리의 거울상이다.

 

       탈레스 정리는 인류 이성의 여명기에 닿아 있는 유서 깊은 정리다.

       그러니 삼각형의 외심의 위치를 말할 때는 외심이 이동하는 순서를 따라 내부, 변 위, 외부의 순서로 말하지 말고, 삼각형의 내부, (잠깐 쉬고), 삼각형의 외부, (긴장을 고조시키는 드럼 소리), 삼각형의 변 위(!) 순서로 말하는 것이 아무래도 인상적이다.

 

       현행 학교수학의 구성에서는 ‘직각삼각형의 외심은 빗변의 중점’이라는 서술이 중학교 2학년 외심 단원에 먼저 등장하고, ‘반원에 대한 원주각은 직각’이라는 서술은 중학교 3학년 원주각 단원에서 등장한다.

 

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       탈레스 정리에 대한 사랑이 지극한 어느 수학 문제.

 

둘레의 길이가 16이고 넓이가 8인 삼각형 ABC가 있다. 선분 BC의 중점 M에 대하여 $ \overline {AM} = \overline {BM}$일 때, $ \overline {AB } ^2 + \overline {BC } ^2 + \overline { CA }^2 $의 값은?

 

       문제의 배경이 되는 단원은 곱셈공식.

       직각삼각형의 둘레에 합을, 넓이에 곱을 숨겼다.

 

       문제를 고안한 이는 주어진 삼각형이 직각삼각형이라는 사실이 쉽게 드러나는 게 몹시도 싫었나 보다. 해서, M이 빗변의 중점이라는 서술을, 산산히 흩뿌리는데, 세심한 공을 들였다.