[1] 소인수분해
$1$보다 큰 자연수를 소인수분해한 결과는 오직 한 가지뿐이다.
요구사항 1. 자연수가 주어지면 소인수분해를 할 수 있어야 한다.
약수들을 인수라고도 한다.
약수와 배수의 기본 소양: 한 자리 소수의 거듭제곱, 배수판별법.
여유가 된다면 $11$부터 $19$까지의 제곱수를 알아둘 것.
소인수분해를 이용하여 자연수의 약수를 구할 수 있다.
최대공약수가 $1$인 두 자연수를 서로소라고 한다.
‘relatively prime은 ‘relatively prime to one another’이라는 서술에서 뒷부분을 뗀 것인데, 이렇게 만들어진 구절인 relatively prime을 글자 그대로 번역한 모양새인 ‘서로소’라는 낱말은, 수학자들의 형편 없는 조어 실력을 보여주는 대표적인 케이스.
대관절 무슨 뜻인가 싶은 이 낱말의 배경은 다음과 같다:
1이 아닌 어떤 자연수 $p$가 자연수 세상에서 제 약수를 찾아 봤더니 자기 아닌 약수가 1뿐이더라. 그러면 우리는 이 자연수 $p$를 소수라 부른다.
이 생각을 조금 넓혀서, 1이 아닌 어떤 자연수 $m$이 - 자연수 전체가 아니라 - 다른 자연수 $n$의 약수 중에서 제 약수가 있나 찾아봤더니 오직 1밖에 없다면 - 자연수 세상에서 약수가 1뿐인 수가 소수라 불리는 것처럼 - 자연수 $n$의 세상에서는 자연수 $m$을 소수라 부르지 않겠냐는 것이다. 그리고 입장을 바꿔서 자연수 $n$ 역시 자연수 $m$의 세상에서는 1이 아닌 약수를 못 찾을 것이니 $m$의 세상에서는 자연수 $n$이 소수라 불릴 것이고.
해서, 자연수 $m$과 자연수 $n$은 서로의 세상에서는 소수, 즉 ‘서로소’가 되는 것이다.
두 자연수의 최대공약수는 두 수를 각각 소인수분해하여 거듭제곱으로 나타낸 후 공통인 소인수의 거듭제곱에서 지수가 같으면 그대로, 다르면 지수가 작은 것을 택하여 모두 곱한 것과 같다.
두 자연수의 최소공배수는 두 수를 각각 소인수분해하여 거듭제곱으로 나타낸 후 공통인 소인수의 거듭제곱에서 지수가 같으면 그대로, 다르면 지수가 큰 것을 택하고, 공통이 아닌 소인수의 거듭제곱은 그대로 택하여 모두 곱한 것과 같다.
요구사항 2. 어떤 자연수의 약수의 개수를 물으면, 소인수분해해야 한다.
요구사항 3. 두 자연수가 서로소인지 물으면, 소인수분해해야 한다.
요구사항 4. 두 자연수의 최대공약수를 물으면, 소인수분해해야 한다.
요구사항 5. 두 자연수의 최소공배수를 물으면, 소인수분해해야 한다.
[2] 등식의 성질
등식의 성질
1. 등식의 양변에 같은 수를 더하여도 등식은 성립한다.
2. 등식의 양변에서 같은 수를 빼어도 등식은 성립한다.
3. 등식의 양변에 같은 수를 곱하여도 등식은 성립한다.
4. 등식의 양변을 $0$이 아닌 같은 수로 나누어도 등식은 성립한다.
등식의 성질을 제대로 알고 있는 학생은 뜻밖에 드물다. 개인적인 경험으로는 전국 단위 시험에서 상위 4% - 이른바 1등급 - 안에 드는 고등학교 3학년 학생이 등식의 성질을 모르는 경우도 있었다.
나는 질문 두 개를 마음 속에 품고 다니다가, 기회가 닿을 때마다 학생들에게 물어 보았는데, 약속이나 한 듯 늘 비슷한 대답이 돌아오는 것이 사뭇 흥미롭다.
첫째 질문은 “시험에는 어떤 문제를 출제할까?”
어찌 보면 다양한 답이 가능할 듯한 질문인데, 학생들은 “어려운 거요.”라는 쪽으로 거의 의견일치를 보인다. (바람직한 대답은, “중요한 거요.”).
또다른 질문은 “등식의 성질이 뭘까?”
대다수 학생들이 고르는 오답은 “양변이 같다.”
학생들은 어째서 중학교 1학년 교과서에 등장하는 등식의 성질을 모르는 걸까.
첫째, 교사들이 등식의 성질보다 이를 이용한 계산 훈련을 강조하는 탓일 듯싶다. 그러다 보니 등식의 성질에 의해 나타나는 현상인 이항은 알아도, 정작 등식의 성질은 모르는 것이다.
둘째, 등식의 성질을 서술한 대목이 꽤나 장황한 것도 원인일 듯싶다. 수학자들에게 대단한 언어적 능력을 기대하는 것은 아니지만, 등식의 성질을 설명하는 너저분한 - 그들로서는 엄밀한 - 서술이 정말 불가피할까 하는 생각이 절로 든다.
서술의 엄밀함을 조금 포기하더라도 등식의 성질을 정확히 인지시켜서, 학생들이 “앗, 계산 실수!”라고 부르는 많은 현상들이 실은 등식의 성질을 무시해서 발생한 참사라는 것을 깨닫게 해야 한다.
“등식의 성질: 등호 양변에 같은 계산을 해도 등식은 성립한다. 단, $0$으로 나누면 안 됨.”