중2 - 기울기

[1] 기울기

 

일차함수 $y=ax+b$에서 $x$의 값의 증가량에 대한 $y$의 값의 증가량의 비율은 항상 일정하며, 그 비율은 $x$의 계수 $a$와 같다.
이 증가량의 비율 $a$를 일차함수 $y=ax+b$의 그래프의 기울기라고 한다.

 

       19세기 무렵 수학자들은 그들이 다루는 대상이 진리라기보다는 약속에 가깝다는 점을 깨달았다고 한다.

       그런 점에서 직선의 기울어진 정도를 두 수의 비로 나타내기로 한 수학자들의 약속을 별다른 의문 없이 받아들이는 것은 그리 바람직한 자세는 아닐 듯싶다.

 

       기울기를 하나의 수로 나타내자는 생각에는 달리 이견이 없겠으나, 그 수를 어떻게 정할지는 의견이 다양할 수 있다. 기울기를 하나의 수로 나타내는 방법이야 충분히 많으니.

 

       수평을 $0$, 수직을 $1$이라 한 후 그 사이의 간격을 나눈 것을 기울기라 정할 수 있다. 수평을 $0$, 수직을 $100$이라 하고서 간격을 나눠도 된다. 굳이 새롭게 약속할 것 없이 경사를 나타내는 오랜 지혜인 각(Degree)을 쓸 수도 있다. 각을 이용한다면, 수평은 $0$이고 수직은 $90$이 된다.

 

       이렇듯 다양한 후보들 중에서 수학자들은 왜 굳이 하나의 값도 아닌, 두 수의 비를 기울기를 나타내는 값으로 정하게 되었을까.

       이런 의문에 대해서는 분명 한번쯤 곱씹어볼 만한데, 기울기를 두 수의 비로 정하고 나면 일차함수 $y=ax+b$에서 $x$의 계수인 $a$가 기울기를 나타내는 값이 된다는 편리 말고도, 몇 년이 지나 미분계수의 존재를 알게 되면, 그리고 미분과 부정적분, 미분과 정적분의 관계를 알게 되면, 두 수의 비로 표현된 기울기의 정의가 꽤 그럴 듯했음을 어렴풋이나마 납득하게 되지 않을까.

 

       이런 요란한 상념에도 불구하고, 사실 기울기 - 경사 - 는 일상에서도 도로를 달리거나 산을 오를 때 흔히 접하는 개념인데, 기울어진 정도를 나타내기 위해 수학자들이 정한 기울기의 값을 곧이곧대로 쓰는 경우는 정작 흔치 않다.