중2 - 순환소수

[1] 순환소수

 

$\frac {3}{7}$을 소수로 나타내기 위하여 계속 나누면 $0$을 제외한 $6$개의 자연수만 나머지가 될 수 있다. 따라서 적어도 $7$번째 안에는 같은 수가 다시 나타나게 되며, 그때부터 같은 몫이 되풀이된다.

정수가 아닌 유리수를 기약분수로 나타낼 때, 분모가 $2$ 또는 $5$ 이외의 소인수를 가지는 유리수는 순환소수로 나타낼 수 있다.

 

       $\frac {3}{7}$을 소수로 나타내기 위해 계속 나눌 때, 어째서 $0$은 나머지가 될 수 없을까?

       $3$을 $7$로 한참 나누다 보면, 마침내 $0$이 나머지로 등장하지는 않을까?

       나머지에 $0$이 나타난다는 것은 언젠가는 나누어떨어진다는 뜻인데, 이런 일은 정말 불가능할까?

 

       $\frac {3}{7} =a$라고 하면, 등식의 성질에 의해 $3=7a$.

       나눗셈의 구조에서는 좌변의 $3$을 $3 \times 10^n$인 듯 다룬다. 그런데 $ 3 \times 10^n $의 소인수는 3, 2, 5뿐. 그러니 $3 \times 10^n$은 $7$의 배수가 아니다. 배수가 아니니, 나누어떨어질 수 없고, 나머지에는 $0$이 나타나지 않는다.

 

       사실 기약분수로 만들었는데 분모와 분자에 어떤 자연수가 남았다면 이미 두 수는 서로 약수와 배수의 관계 따위는 없다는 뜻이다. 서로 약수와 배수의 관계였다면 아직 기약분수가 아닌 것이고.

       그러니 $10^n$의 소인수인 $2$와 $5$가 아닌 자연수가 분모에 남으면, 그 자연수는 분자에서 자신의 배수를 찾을 수 없는 상태. 따라서 아무리 나눠본들 나머지에서 $0$을 만날 수는 없다.

 

       참고로, $0$을 제외한 나머지들이 적어도 $7$번째 안에 되풀이되는 이유는, 비둘기집의 원리.