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교과서 수학

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중1 - 절댓값 [1] 절댓값 수직선 위에서 어떤 수를 나타내는 점과 원점 사이의 거리를 그 수의 절댓값이라 한다. 중학교 1학년 교과서의 이 문장은, 5년 후 무시무시한 괴물로 진화한다. 수는 부호를 가지는 반면 절댓값은 거리여서 양수라는 것이, 모든 아픔의 시작. 절댓값 안의 수는 크기는 그대로이나 부호는 - 그것도 음수일 때만, 양수로 - 바뀐다는 단순한 규칙. 그러나 이 미묘한 부호의 변화는 실로 변화무쌍한 변주를 만들어낸다.
수학(하) - 절대부등식 [1] 절대부등식 부등식의 문자에 그 문자가 가질 수 있는 어떤 실숫값을 대입해도 항상 성립하는 부등식을 절대부등식이라고 한다. 절대부등식을 설명하는 교과서 본문의 서술은 이게 전부다. 교과서 본문에는 산술기하평균부등식이라는 용어, 또는 코시나 슈바르츠 같은 이름은 전혀 등장하지 않는다. 그러나 교사가 이 문장을 일단 수업에서 다루고 나면, 학생들은 산술기하평균부등식 - 학교에 따라서는 산술기하조화평균부등식 - 과 코시-슈바르츠 부등식을 다룰 수 있어야 한다는 요구를 받는다. 대학 입시에서 전국 수석을 차지하거나 서울대학교를 졸업한 이들 중에는 교과서 구석구석을 샅샅이 익혔던 - 주로, 암기했던 - 것을 입시 성공의 비결로 꼽는 이들이 있다. 그러니 교과서 한쪽 귀퉁이에 깨알 같이 적혀 있는 “$(a+b..
중2 - 외심 [1] 삼각형의 외심 삼각형 $ABC$의 세 꼭짓점이 원 $O$ 위에 있을 때, 이 원 $O$는 삼각형 $ABC$에 외접한다고 하며 이 원을 삼각형 $ABC$의 외접원이라고 한다. 외접원의 중심 $O$를 삼각형 $ABC$의 외심이라고 한다. 삼각형과 외심이 그려져 있을 때, 외접원과 관련된 점은 네 개다. 외심과 삼각형의 세 꼭짓점. 이때 외심은 외접원의 중심이고, 세 꼭짓점은 외접원 위의 점이다. 외심과 삼각형의 세 꼭짓점을 이으면, 삼각형 세 개가 만들어진다. 이때 그은 세 선분은 원의 중심과 원둘레 위의 점을 이은 것이니, 그 정체는 반지름이다. 반지름은 길이가 일정해서 새로 생긴 삼각형들은 모두 이등변삼각형이고, 이때 처음에 주어졌던 삼각형의 세 변은 각각 세 이등변삼각형의 밑변이 된다. [2] ..
수학(상) - 다항식 연산: 항등식 [1] 항등식 항등식의 뜻과 성질을 이용하여 등식에서 미지의 계수를 정하는 방법을 미정계수법이라고 한다. 미정계수법에는 양변의 동류항의 계수를 비교하는 방법과 양변의 문자에 적당한 수를 대입하는 방법이 있다. 항등식을 소개하는 역할은 중학교 1학년 과정이 담당한다. 그래서인지 고등학교 1학년 교과서는 ‘항등식은 알지?’ 하는 분위기를 물씬 풍긴다. 중학교 1학년 교과서의 항등식 관련 대목: 등호를 사용하여 수나 식이 서로 같음을 나타낸 식을 등식이라고 한다. 미지수의 값에 따라 참이 되기도 하고 거짓이 되기도 하는 등식을 그 미지수에 대한 방정식이라고 한다. 이때 방정식을 참이 되게 하는 미지수의 값을 그 방정식의 해 또는 근이라고 한다. 미지수에 어떤 수를 대입하여도 항상 참이 되는 등식을 그 미지수에..
중2 - 피타고라스 정리 [1] 피타고라스 정리 직각삼각형에서 직각을 낀 두 변의 길이의 제곱의 합은 빗변의 길이의 제곱과 같다. 이와 같은 성질을 피타고라스 정리라고 한다. 피타고라스 정리와 무리수는 거울의 양면이다. 직각이등변삼각형에서 직각을 낀 두 변의 길이를 $1$이라 하면, 빗변의 길이가 무리수인 $\sqrt {2}$가 된다. 빗변의 길이를 $1$이라 해도, 상황은 마찬가지. 이번에는 직각을 낀 두 변의 길이가 무리수다. 자연수를 만물의 근원이라 찬미하던 피타고라스 학파는 이런 수의 존재를 감내하기 어려웠다던가. 그런 까닭에 무리수의 존재를 드러낸 히파수스를 이단이라 하여 그들의 학파에서 추방하고, 일설에 따르면 물에 빠뜨려 제거했다고도 한다. [2] 피타고라스 정리와 무리수 학교수학에서 피타고라스 정리와 무리수라는 두..
수학(상) - 다항식 연산: 나눗셈 [1] 다항식의 나눗셈 다항식 $A$를 다항식 $B$ ($ B \ne 0$)로 나누었을 때의 몫을 $Q$, 나머지를 $R$라 하면 $A= BQ+R$와 같이 나타낼 수 있다. 이때 $R$의 차수는 $B$의 차수보다 낮다. 특히 $R=0$, 즉 $A=BQ$일 때, ‘$A$는 $B$로 나누어떨어진다’고 한다. 등식 $A=BQ+R$의 이름은 검산식. 나눗셈이 제대로 되었는지 확인하는 식이라는 뜻인데, 다항식의 맥락에서는 나눗셈의 검산보다는 ‘검산식은 항등식’이라는 점이 백배 천배 중요하다. 요컨대, 다항식의 연산에 대해, 덧셈과 뺄셈은 주어진 두 다항식을 셈할 수 있는지 묻고, 곱셈은 공식의 암기를 묻고, 나눗셈은 검산식이 항등식임을 아는지 묻는다. 검산식 뒤에 슬쩍 덧붙인 두 문장 - “$R$의 차수는 $B$..
수학(상) - 다항식 연산: 덧셈, 뺄셈, 곱셈 [1] 다항식의 덧셈과 뺄셈 다항식의 덧셈과 뺄셈은 동류항끼리 모아서 계산한다. 이때 뺄셈은 빼는 식의 각 항의 부호를 바꾸어 더한다. 동류항을 모아서 계산하기 위해 필요한 선수지식은 ‘분배법칙’뿐. [2] 다항식의 곱셈 이상을 정리하면 다음과 같은 곱셈 공식을 얻는다. 공식은 대개 암기의 대상. 수학자나 수학교육자들도 이 점만큼은 애써 부인하지 않는다. 오히려 수학은 암기과목이라 목소리를 높이는 이들도 있다. 여하튼 다항식의 곱셈에 대해서는 어찌저찌 이러저러한 공식을 얻었다 하니, 이제 다항식의 곱셈에 대해서는 ‘공식’을 암기하라는 소리. 어릴 적 구구단도 그렇고, 곱셈은 대개 암기를 수반한다. 다만 초등학교의 곱셈이 두 수를 곱할 수 있는지 직접 묻는 반면, 고등학교에서는 두 문자식을 곱할 수 있는지..

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