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중1 - 구 [1] 구의 겉넓이와 부피 구 모양의 오렌지 한 개의 껍질로 네 개의 원을 채울 수 있다. 따라서 구의 겉넓이는 구의 중심을 지나는 평면으로 자른 단면의 모양의 원의 넓이의 4배임을 추측할 수 있다. 통 속의 물은 공의 부피만큼 넘치므로 공의 부피는 원기둥 모양의 통의 부피의 $ \frac {2}{3}$임을 추측할 수 있다. 실제로 반지름의 길이가 $r$인 구의 부피는 밑면의 반지름의 길이가 $r$이고, 높이가 $2r$인 원기둥의 부피의 $\frac {2}{3}$임이 알려졌다. 구의 겉넓이와 부피 공식을 주입하기 위한 눈물겨운 노력. 그러나 이게 다 무슨 소란인가. 이러니 거스름돈만 제대로 주고받으면 그만인데 수학을 왜 배우는가 하는 불만이 튀어나올 수밖에. 중학교 3학년 학생이 이차방정식의 문제를 풀 ..
중1 - 외각 [1] 삼각형의 외각 다각형의 한 꼭짓점에 이웃하는 두 변 중에서 한 변과 다른 한 변의 연장선이 이루는 각을 그 내각에 대한 외각이라고 한다. 삼각형의 한 외각의 크기는 그와 이웃하지 않는 두 내각의 크기의 합과 같다. 삼각형의 세 내각의 크기를 더하면 $180 ^\circ$가 된다는 걸 모르는 학생은 단 한 명도 보지 못했다. 반면, 삼각형의 외각의 성질을 아는 학생도 만난 기억이 없다. 두 가지 내용이 서로 거울상이라는 점에서, 이러기도 쉽잖다. 도형 문제를 풀면서 삼각형의 세 내각을 모두 더한 것이 $180 ^\circ$인 줄을 몰라서 틀릴 일은 거의 없다. 대부분 그 거울상인 삼각형의 외각의 성질을 몰라서 틀린다. 그러니 삼각형의 외각의 성질에 그저 눈길 한번 더 주는 것만으로도, 훨씬 많은 문..
중2 - 기울기 [1] 기울기 일차함수 $y=ax+b$에서 $x$의 값의 증가량에 대한 $y$의 값의 증가량의 비율은 항상 일정하며, 그 비율은 $x$의 계수 $a$와 같다. 이 증가량의 비율 $a$를 일차함수 $y=ax+b$의 그래프의 기울기라고 한다. 19세기 무렵 수학자들은 그들이 다루는 대상이 진리라기보다는 약속에 가깝다는 점을 깨달았다고 한다. 그런 점에서 직선의 기울어진 정도를 두 수의 비로 나타내기로 한 수학자들의 약속을 별다른 의문 없이 받아들이는 것은 그리 바람직한 자세는 아닐 듯싶다. 기울기를 하나의 수로 나타내자는 생각에는 달리 이견이 없겠으나, 그 수를 어떻게 정할지는 의견이 다양할 수 있다. 기울기를 하나의 수로 나타내는 방법이야 충분히 많으니. 수평을 $0$, 수직을 $1$이라 한 후 그 사이의..
중2 - 일차식과 직선 [1] 일차식과 직선 일차함수의 그래프는 직선이고, 한 평면 위에서 서로 다른 두 점을 지나는 직선은 오직 하나뿐이다. 따라서 일차함수의 그래프는 이 그래프 위의 서로 다른 두 점을 알면 그릴 수 있다. 일차식의 모양은 직선. 허공을 날아다니는 직선을 벽에 고정하기 위해 필요한 못은 오직 두 개. 두 점은 곧 직선 그 자체. 문제에 일차식이 등장하면 직선을 준 것이다. 직선을 고정시키는 데 필요한 못은 두 개. 그러니 출제자는 못 두 개를 분명 문제 어딘가에 감추었을 것이고, 그 두 점을 찾는 것이 일차적인 목표다. 2021년 3월 고3 학력평가 미적분 29번 문제. 자연수 $n$에 대하여 곡선 $y=x^2$ 위의 점 ${\mathrm P}_n (2n, 4n^2)$에서의 접선과 수직이고 점 ${\math..
중2 - 평행이동 [1] 평행이동 한 도형을 일정한 방향으로 일정한 거리만큼 평행하게 이동하는 것을 평행이동이라고 한다. 평행이동을 달리 밀기라고 한다. 도형을 미는 행위는 도형의 모양에 아무런 영향을 주지 않는다. 밀기 전이든 민 후든, 모양은 그대로다. 밀기를 관찰할 때는 도형 전체를 살피는 대신 도형의 특정한 부분 - 예를 들면, 꼭짓점 - 에 초점을 맞춰야 한다. 도형의 모양이 변함이 없으니, 도형의 특정한 부분의 위치 변화가 결정되면, 도형의 나머지 부분들은 알아서 각자 자리를 잡는다.
중2 - 함수 [1] 함수 두 변수 $x$, $y$에 대하여 $x$의 값이 변함에 따라 $y$의 값이 하나씩 정해지는 대응 관계가 성립할 때, $y$를 $x$의 함수라고 한다. 키워드는 하나씩. $x$ 하나에 $y$가 여럿이어도 안 되고, 없어서도 안 된다. 길동이에게 나이를 묻는다. “길동아, 몇 살이니?” 길동이가 똑부러지게 대답한다. “열 다섯살.” 이런 것이 정상적인 대화다. “길동아, 몇 살이니?” 도술을 부리는 길동이가 대답한다. “나는 열 살도 되고, 백 살도 되오.” 흥미롭기는 하나, 현실은 아니다. “길동아, 몇 살이니?” “나는 나이 같은 건 없소.” “얘 지금 뭐래니?” 왜 $y$가 여럿이거나 없으면 안 될까. 쓸모가 떨어지기 때문이다. 태평양에 태풍의 씨앗이 발생했단다. 대통령인 당신은 기상청장에..
중3 - 이차방정식 - 인수분해 [1] $ab=0$ 두 수 또는 두 식 $a$, $b$에 대하여 $ab=0$이면 $a=0$ 또는 $b=0$이다. 겉보기는 계산의 모습을 하고 있지만, 뜻이 담긴 식이 넷 있다. $a$와 $b$가 실수일 때, (1) $ab=0$, (2) $ab>0$, (3) $ab
중3 - 현 [1] 현 원의 중심에서 현에 내린 수선은 그 현을 이등분한다. 현의 수직이등분선은 그 원의 중심을 지난다. 중학교 2학년 과정인 외심의 거울상. 바탕에 깔린 이등변삼각형이 모든 현상의 원인. 한마디로, 현이란 이등변삼각형의 밑변이고, 원의 중심이 이등변삼각형의 꼭짓점이다. 이등변삼각형의 밑변의 수직이등분선은 이등변삼각형의 꼭짓점을 지난다. 그러니 현의 수직이등분선은 원의 중심을 지난다. 이 성질을 이용하면 현으로 원의 중심의 위치를 찾을 수 있다는 뜻이다. 마침 접선의 법선도 원의 중심을 지난다. 현이든 접선이든 두 개를 안다면, 수직이등분선과 법선의 교점을 찾는다. 바로 그 점이 원의 중심이다. 2021년 3월 고3 학력평가 미적분 29번 문제. 자연수 $n$에 대하여 곡선 $y=x^2$ 위의 점 $..

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