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중2 - 부등식의 성질 [1] 부등식의 성질 부등식의 양변에 같은 수를 더하거나 양변에서 같은 수를 빼어도 부등호의 방향은 바뀌지 않는다. 부등식의 양변에 같은 양수를 곱하거나 양변을 같은 양수로 나누어도 부등호의 방향은 바뀌지 않는다. 부등식의 양변에 같은 음수를 곱하거나 양변을 같은 음수로 나누면 부등호의 방향은 바뀐다. 등식의 성질에 기대면, 그리고 곱셈과 나눗셈이 서로 결이 같은 셈이라는 것을 안다면, 부등식의 성질은 좀더 간결해진다. 등식의 성질 ① 등식의 양변에 같은 수를 더하여도 등식은 성립한다. ② 등식의 양변에 같은 수를 빼어도 등식은 성립한다. ③ 등식의 양변에 같은 수를 곱하여도 등식은 성립한다. ④ 등식의 양변을 $0$이 아닌 같은 수로 나누어도 등식은 성립한다. 나눌 때는 역수를 이용하여 나눗셈을 곱셈으..
중1 - 문자 [1] 문자 문자를 사용하면 구체적인 값이 주어지지 않은 수량이나 수량 사이의 관계를 식으로 나타낼 수 있다. 대수학의 서막. 이제부터는 모든 문제에 ‘구체적인 값이 주어지지 않은’ - 한 마디로, ‘모르는’ - 수량이 등장한다. 이때 숨도 쉬지 말고 문자를 사용해서 식을 세워야 한다. 이런 발상 혹은 접근은 중요하고 또 중요해서, 별표를 백 개를 붙인대도 부족하고 또 부족하다. 한 줄 요약: 이제부터 ‘몰라요’는 무조건 문자. 몇몇 교과서에서는 이 대목을 “문자를 사용하면 수량 사이의 관계를 간단한 식으로 나타낼 수 있다”거나 “변하는 수량을 문자를 사용하여 나타내면 간단하다”는 식으로 서술하고 있으나, ‘구체적인 값이 주어지지 않은’이라는 표현이 빠진 서술은, 주인공이 한 번도 등장하지 않는 영화와 ..
노트 안 든 게 아니라 못 꺼낸 게 문제다. 더 넣는 것, 끊임없이 넣는 것은 못 꺼낸 문제에 대한 해결책일 수 없다. 못 꺼낸 이유를 살펴야 한다. 그 원인을 밝혀, 확실히 제거하는 것만이 유일한 해법이다.
중1 - 절댓값 [1] 절댓값 수직선 위에서 어떤 수를 나타내는 점과 원점 사이의 거리를 그 수의 절댓값이라 한다. 중학교 1학년 교과서의 이 문장은, 5년 후 무시무시한 괴물로 진화한다. 수는 부호를 가지는 반면 절댓값은 거리여서 양수라는 것이, 모든 아픔의 시작. 절댓값 안의 수는 크기는 그대로이나 부호는 - 그것도 음수일 때만, 양수로 - 바뀐다는 단순한 규칙. 그러나 이 미묘한 부호의 변화는 실로 변화무쌍한 변주를 만들어낸다.
수학(하) - 절대부등식 [1] 절대부등식 부등식의 문자에 그 문자가 가질 수 있는 어떤 실숫값을 대입해도 항상 성립하는 부등식을 절대부등식이라고 한다. 절대부등식을 설명하는 교과서 본문의 서술은 이게 전부다. 교과서 본문에는 산술기하평균부등식이라는 용어, 또는 코시나 슈바르츠 같은 이름은 전혀 등장하지 않는다. 그러나 교사가 이 문장을 일단 수업에서 다루고 나면, 학생들은 산술기하평균부등식 - 학교에 따라서는 산술기하조화평균부등식 - 과 코시-슈바르츠 부등식을 다룰 수 있어야 한다는 요구를 받는다. 대학 입시에서 전국 수석을 차지하거나 서울대학교를 졸업한 이들 중에는 교과서 구석구석을 샅샅이 익혔던 - 주로, 암기했던 - 것을 입시 성공의 비결로 꼽는 이들이 있다. 그러니 교과서 한쪽 귀퉁이에 깨알 같이 적혀 있는 “$(a+b..
중2 - 외심 [1] 삼각형의 외심 삼각형 $ABC$의 세 꼭짓점이 원 $O$ 위에 있을 때, 이 원 $O$는 삼각형 $ABC$에 외접한다고 하며 이 원을 삼각형 $ABC$의 외접원이라고 한다. 외접원의 중심 $O$를 삼각형 $ABC$의 외심이라고 한다. 삼각형과 외심이 그려져 있을 때, 외접원과 관련된 점은 네 개다. 외심과 삼각형의 세 꼭짓점. 이때 외심은 외접원의 중심이고, 세 꼭짓점은 외접원 위의 점이다. 외심과 삼각형의 세 꼭짓점을 이으면, 삼각형 세 개가 만들어진다. 이때 그은 세 선분은 원의 중심과 원둘레 위의 점을 이은 것이니, 그 정체는 반지름이다. 반지름은 길이가 일정해서 새로 생긴 삼각형들은 모두 이등변삼각형이고, 이때 처음에 주어졌던 삼각형의 세 변은 각각 세 이등변삼각형의 밑변이 된다. [2] ..
수학(상) - 다항식 연산: 항등식 [1] 항등식 항등식의 뜻과 성질을 이용하여 등식에서 미지의 계수를 정하는 방법을 미정계수법이라고 한다. 미정계수법에는 양변의 동류항의 계수를 비교하는 방법과 양변의 문자에 적당한 수를 대입하는 방법이 있다. 항등식을 소개하는 역할은 중학교 1학년 과정이 담당한다. 그래서인지 고등학교 1학년 교과서는 ‘항등식은 알지?’ 하는 분위기를 물씬 풍긴다. 중학교 1학년 교과서의 항등식 관련 대목: 등호를 사용하여 수나 식이 서로 같음을 나타낸 식을 등식이라고 한다. 미지수의 값에 따라 참이 되기도 하고 거짓이 되기도 하는 등식을 그 미지수에 대한 방정식이라고 한다. 이때 방정식을 참이 되게 하는 미지수의 값을 그 방정식의 해 또는 근이라고 한다. 미지수에 어떤 수를 대입하여도 항상 참이 되는 등식을 그 미지수에..
중2 - 피타고라스 정리 [1] 피타고라스 정리 직각삼각형에서 직각을 낀 두 변의 길이의 제곱의 합은 빗변의 길이의 제곱과 같다. 이와 같은 성질을 피타고라스 정리라고 한다. 피타고라스 정리와 무리수는 거울의 양면이다. 직각이등변삼각형에서 직각을 낀 두 변의 길이를 $1$이라 하면, 빗변의 길이가 무리수인 $\sqrt {2}$가 된다. 빗변의 길이를 $1$이라 해도, 상황은 마찬가지. 이번에는 직각을 낀 두 변의 길이가 무리수다. 자연수를 만물의 근원이라 찬미하던 피타고라스 학파는 이런 수의 존재를 감내하기 어려웠다던가. 그런 까닭에 무리수의 존재를 드러낸 히파수스를 이단이라 하여 그들의 학파에서 추방하고, 일설에 따르면 물에 빠뜨려 제거했다고도 한다. [2] 피타고라스 정리와 무리수 학교수학에서 피타고라스 정리와 무리수라는 두..

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